หลักสูตรเบื้องต้นเรื่องความน่าจะเป็น: พื้นฐานของฟังก์ชันการแจกแจงร่วม

ในบทเรียนก่อนหน้า เราอาศัยอยู่ในโลกที่มีมิติเดียว โดยสังเกตตัวแปรสุ่มแต่ละตัวแยกจากกัน ตอนนี้ เราขยายขอบเขตของเราไปยัง ฟังก์ชันการแจกแจงร่วม. ลองจินตนาการว่าเราสังเกตตัวแปรหลายตัวพร้อมกัน — เช่น ส่วนสูงและน้ำหนักของนักเรียน หรือพิกัดของลูกศรที่กระแทกแผ่นป้าย เป็นกรอบงานที่ช่วยให้เราอธิบายทางคณิตศาสตร์ถึงการมีปฏิสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร การพึ่งพากัน หรือการอยู่ในความเป็นอิสระอย่างสมบูรณ์

1. ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมร่วม (JCDF)

รากฐานของการวิเคราะห์ตัวแปรหลายตัวคือ ฟังก์ชันการแจกแจงร่วม $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่เงื่อนไขหลายประการจะเป็นจริงพร้อมกัน

$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$

สูตรนี้แสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรแต่ละตัว $X_i$ จะต่ำกว่าค่าเกณฑ์ที่สอดคล้องกัน $a_i$ เหมือนกันในเวลาเดียวกัน ทางเรขาคณิต ในสองมิติ นี่คือความน่าจะเป็นที่คู่สุ่ม $(X, Y)$ จะอยู่ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้านล่างซ้ายของจุด $(a, b)$

2. การตีความความหนาแน่นในเชิงอนุพันธ์เล็กน้อย

สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง เราอธิบายความน่าจะเป็นผ่าน ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วม (JPDF), $f(x, y)$ ความน่าจะเป็นที่จุดเดียวเป็นศูนย์ แทนที่เราจะมองที่บริเวณที่เล็กลงมาก

ความน่าจะเป็นที่คู่ $(X, Y)$ จะอยู่ภายในสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ คือ:
$P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$
หรือเขียนในรูปแบบอื่นได้ว่า: $P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$

สิ่งนี้เผยให้เห็นว่า $f(x, y)$ เป็น "ความหนาแน่น" เทียบกับ พื้นที่ ของบริเวณในระนาบคาร์ทีเซียน

3. ความสัมพันธ์และความจำกัดทางเรขาคณิต

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นอิสระกันถือว่ามีความสัมพันธ์กัน. นี่ไม่ใช่เพียงแค่คุณสมบัติทางพีชคณิตเท่านั้น แต่ยังเห็นได้ชัดเจนใน พื้นที่การกระจาย ของฟังก์ชันการแจกแจง

ตัวอย่าง 1c: จุดสุ่มบนวงกลม

พิจารณาจุด $(X, Y)$ ที่เลือกแบบสุ่มสม่ำเสมอภายในวงกลมรัศมี $R$ ที่จุดศูนย์กลาง $(0,0)$ ตัวแปร $X$ และ $Y$ เป็น ขึ้นต่อกัน เพราะทราบว่า $X = x$ จำกัดค่าที่เป็นไปได้ของ $Y$

หาก $X$ ใกล้ $R$ ค่า $Y$ ต้องอยู่ใกล้ $0$ ทางคณิตศาสตร์ $Y$ มีข้อจำกัด: $-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$ ขอบเขตดังกล่าวคือสาเหตุที่ทำให้ความหนาแน่นร่วมไม่สามารถแยกออกเป็นมาร์จินัลที่เป็นอิสระกันได้

🎯 ข้อคิดสำคัญ

การแจกแจงร่วมกำหนดพื้นที่ความน่าจะเป็นร่วมกัน เมื่อการเกิดขึ้นของตัวแปรหนึ่งจำกัดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของอีกตัวหนึ่ง (เช่น ในตัวอย่าง 1c, 1d และ 1e) เราจึงได้จับจุดสำคัญของความสัมพันธ์แล้ว

คำถาม 1

หยิบลูกเต๋าสองลูกที่มีโอกาสเท่ากัน ให้ $X$ เป็นค่าของลูกเต๋าลำดับแรก และ $Y$ เป็นค่าที่ใหญ่กว่าของสองค่า ความน่าจะเป็นมวลร่วม $p(3, 4)$ เท่ากับเท่าใด?

$1/36$

$2/36$

$4/36$

คำถาม 2

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วมของ $X$ และ $Y$ คือ $f(x, y) = e^{-(x+y)}$ สำหรับ $x, y \ge 0$ จงหา $P\{X < Y\}$

0.5

1.0

0.25

$1/e$

คำถาม 3

ในตัวอย่าง 8b ให้ $Y_{k+1} = n + 1 - \sum_{i=1}^{k} Y_i$ ตัวแปร $Y_1, \dots, Y_k, Y_{k+1}$ เป็นตัวแปรที่เปลี่ยนสลับกันได้หรือไม่?

ใช่ เพราะการแจกแจงร่วมมีความสมมาตรภายใต้การเรียงลำดับดัชนีทุกแบบ

ไม่ใช่ เพราะ $Y_{k+1}$ เป็นผลรวมที่พึ่งพาตัวอื่น

ก็ต่อเมื่อตัวแปรเป็นอิสระกัน

ก็ต่อเมื่อ $n$ มีขนาดใหญ่พอ

คำถาม 4

ชายและหญิงคนหนึ่งมาถึงสถานที่หนึ่งอย่างอิสระกันระหว่างเวลา 12:00 ถึง 1:00 น. (การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ) ความน่าจะเป็นที่คนที่มาถึงก่อนจะต้องรอเกินกว่า 10 นาทีคือเท่าไร?

$25/36$

$11/36$

$1/6$

$1/2$

คำถาม 5

ถ้า $X \sim Bin(n, p)$ และ $Y \sim Bin(m, p)$ เป็นอิสระกัน แล้วการแจกแจงของ $X + Y$ เป็นอย่างไร?

Bin(n + m, p)

Bin(n + m, 2p)

Poisson((n+m)p)

การรวมแบบซับซ้อนที่ไม่มีรูปแบบง่าย

กรณีศึกษา: การแจกแจงวงกลมแบบสม่ำเสมอ

ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตและความหนาแน่นมาร์จินัล

พิจารณาวงกลมรัศมี $R$ จุด $(X, Y)$ ถูกเลือกแบบสุ่มโดยที่พื้นที่ที่มีพื้นที่เท่ากันมีโอกาสเกิดเท่ากัน ความหนาแน่นร่วมคือ $f(x, y) = c$ สำหรับ $x^2 + y^2 \le R^2$

คำถาม 1

หาค่าคงที่ $c$

วิธีทำ: ความน่าจะเป็นรวมต้องเท่ากับ 1 ดังนั้น $\iint_{Circle} c \, dA = 1$ เนื่องจากพื้นที่วงกลมคือ $\pi R^2$ เราจึงได้ $c \cdot \pi R^2 = 1 \implies c = \frac{1}{\pi R^2}$

คำถาม 2

หาฟังก์ชันความหนาแน่นมาร์จินัล $f_X(x)$

วิธีทำ: รวมค่า $y$ สำหรับค่า $x$ ที่คงที่:
$f_X(x) = \int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}} \frac{1}{\pi R^2} dy = \frac{2\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2}$ สำหรับ $-R \le x \le R$

คำถาม 3

ให้ $D$ เป็นระยะทางจากจุดกำเนิด จงหา $E[D]$

วิธีทำ: ใช้พิกัดโพลาร์: $E[D] = \iint \sqrt{x^2+y^2} f(x,y) dA = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \cdot \frac{1}{\pi R^2} r \, dr d\theta = \frac{1}{\pi R^2} (2\pi) \int_0^R r^2 dr = \frac{2}{R^2} [\frac{r^3}{3}]_0^R = \frac{2}{3}R$

คำถาม 4

สมมติว่าลูกเต๋าที่มีโอกาสเท่ากันถูกโยน 9 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เลข 1 ปรากฏ 3 ครั้ง เลข 2 และ 3 ปรากฏ 2 ครั้ง ตัวเลข 4 และ 5 ปรากฏ 1 ครั้ง และเลข 6 ไม่ปรากฏเลย

วิธีทำ: ใช้สูตรมัลติโนเมียล: $P = \frac{n!}{x_1!x_2!x_3!x_4!x_5!x_6!} p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3}p_4^{x_4}p_5^{x_5}p_6^{x_6}$
$P = \frac{9!}{3!2!2!1!1!0!} (1/6)^9 = \frac{362880}{6 \cdot 2 \cdot 2} (1/6)^9 = 15120 \cdot (1/6)^9 \approx 0.0015$